Unidad nº 2:

Funciones Exponenciales

Chicos, les dejo los dos primeros problemas con los que empezamos a trabajar para entrar en tema:

1-. Las bacterias son microorganismos unicelulares que se reproducen asexualmente mediante un proceso llamado fisión binaria o bipartición: cada bacteria se divide dando lugar a dos nuevas bacterias.

En un laboratorio, estudian la evolución de cierta bacteria y han determinado que bajo ciertas condiciones la bipartición se produce una vez por minuto. Para iniciar un experimento, consiguieron aislar una única bacteria.

• ¿Cuántas bacterias habrá 2 minutos después de iniciado el experimento?

• ¿Cuántas habrá 2 minutos más tarde, es decir, 4 minutos después de iniciado el experimento?

• ¿Podrá encontrarse una función que describa este fenómeno? ¿Cuál sería su dominio?

• ¿Cuántas bacterias tendrá el cultivo a los 15 minutos?  ¿Cuántas bacterias habrá 2 horas después de iniciado él experimento?

• Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la cantidad de bacterias supere las 100 000? 

 

Si lo pensamos o lo esquematizamos podemos decir que 1 minuto después de que empezó el experimento, se habrá producido la primera bipartición, por lo tanto habrá 2 bacterias.  

Luego de 2 minutos, se habrá producido otra bipartición y tendremos 4 bacterias.

Otros  minutos después, osea a los 3 minutos de iniciado el experimento, tendremos 8 bacterias. Podemos simplificar los datos en una tabla como la siguiente:

Tiempo	Bacterias
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128

Si volcamos los datos en un gráfico:

Para encontrar la fórmula general que describa el proceso, podemos ampliar la tabla y anotar detalladamente los cálculos que realizaron:

Tiempo	Como lo calcularon	Bacterias
0	2^0=1	1
1	2.2^0=2	2
2	2.2^1=2^2	4
3	2.2^2=2^3	8
4	2.2^3=2^4	16
5	2.2^4=2^5	32
6	2.2^5=2^6	64
7	2.2^6=2^7	128

De esta tabla podemos concluir que:

Número de bacterias=2^(número de biparticiones)

Como se produce una bipartición por minuto

Número de biparticiones =  tiempo

Por lo tanto:

Número de bacterias=2^(tiempo)

El modelo exponencial

2-. En el pueblo de Correveidile viven unas 30 000 personas. Como están aisladas en la montaña, no llega la señal satelital para los celulares. Entonces, cuando el alcalde necesita comunicar un mensaje y estar seguro de que llegará a todos, recurre al efectivo y antiguo sistema del "boca a boca".

En una primera etapa del procedimiento, les cuanta el mensaje a 5 ayudantes. Cada uno de ellos tiene instrucciones de ir a comunicar el mensaje exactamente a 4 personas (esta sería la segunda etapa del procedimiento) y, además, indicar a esas 4 personas que lo comuniquen a otras 4 (tercera etapa) para que estas lo comuniquen, á su vez, a otras 4 (cuarta etapa) y así sucesivamente, hasta que todos en el pueblo estén enterados. Suponemos que han diseñado un circuito para que cada uno cuente el mensaje a alguien qué lo recibe por primera vez, es decir, no se desperdician recursos porque nadie recibe el mensaje en forma repetida. ¿Se podrá encontrar una fórmula qué permita calcular cuántas personas se enteran del mensaje en cada etapa?

• ¿En qué etapa, la noticia habrá llegado a 20 000 personas?

Por enfermedad de dos de los ayudantes del alcalde, tuvieron que modificar el sistema y el cálculo, ya que con la nueva situación de contar con dos ayudantes menos, en la primera etapa, el alcalde comunica el mensaje a solo 3 ayudantes, aunque permanece la instrucción de qué cada uñó le transmita el mensaje a 4 personas.

• ¿Cómo se modifica la fórmula para esta nueva situación?

En la primera etapa del procedimiento, se enteran del mensaje 5 personas(los ayudantes). 

En la segunda etapa, cada ayudante comunico el mensaje a 4 personas distintas, por lo tanto:

5.4=20     ==>   El mensaje lo saben 20 personas

En la tercera etapa, cada una de esas 20 personas le transmite el mensaje a otras 4. ¿Cuántas personas recibieron el mensaje?

20.4 = 80 ==> lo reciben 80 personas.      

Para simplificar: 5.4.4 = 80

5.4^2=80

Completemos una tabla:

Etapa	Calculo	Personas enteradas
1	5.4^0	5
2	5.4^1	20
3	5.4^2	80
4	5.4^3	320
5	5.4^4	1280

Avanzaremos en clase...